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2025

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组合公式杂记

Raney 引理

对于长度为 \(n\) 的整数序列 \(x\) 满足 \(\sum x_i = 1\)，有且仅有其一个循环序列满足任意非空前缀和为正数（记作合法）。

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群论基础

定义

定义集合 \(G\) 与在 \(G\) 上的二元运算 \(\times\)，若其满足以下条件，则称 \((G,\times)\) 为一个群。

  1. 封闭性。\(\forall a,b \in G,a \times b \in G\)
  2. 结合性。\(\forall a,b,c \in G,(a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
  3. 单位元存在性。\(\exists e \in G,\forall a \in G,e \times a = a \times e = a\)
  4. 逆元存在性。\(\forall a \in G,\exists b \in G,a \times b = b \times a = e\)