Math
群论基础
定义
定义集合 \(G\) 与在 \(G\) 上的二元运算 \(\times\)，若其满足以下条件，则称 \((G,\times)\) 为一个群。
- 封闭性。\(\forall a,b \in G,a \times b \in G\)
- 结合性。\(\forall a,b,c \in G,(a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
- 单位元存在性。\(\exists e \in G,\forall a \in G,e \times a = a \times e = a\)
- 逆元存在性。\(\forall a \in G,\exists b \in G,a \times b = b \times a = e\)
单位根相关
复数域下方程 \(x^n = 1\) 恰好有 \(n\) 个解，记 \(\omega_n = e^{\frac {2 \text{i} \pi} n}\)，则这 \(n\) 个解恰好为 \(1,\omega_n,\omega_n^2,\cdots,\omega_n^{n-1}\)。我们将 \(\omega_n\) 称作 \(n\) 次单位根。
在运算中，有 \(\omega_n = e^{\frac {2 \text{i} \pi} n} = \cos \frac {2 \pi} n + \text{i} \sin \frac{2 \pi} n\)。
特别地，在模 \(P\) 意义的数域下，有 \(\omega_n \equiv g^{\frac {P-1} n} \pmod P\)，其中 \(g\) 是模 \(P\) 意义下的原根。
行列式
定义
定义 \(n\) 阶方阵 \(A\) 的行列式为：
\[
\det A=\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\
\end{vmatrix}
=\sum_{p_1,p_2,\cdots,p_n} (-1)^{\tau(p_1,p_2,\cdots,p_n)} \prod_{i=1}^n a_{i,p_i}
\]
其中 \(\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}\) 是一个 \(n\) 的排列，\(\tau(p_1,p_2,\cdots,p_n)\) 表示 \(\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}\) 的逆序数。