平面直角坐标系的点绕原点旋转公式及证明
设点 \(A(x,y)\) 绕原点 \(O(0,0)\) 逆时针旋转 \(\beta\)，则设在极坐标系下 \(A\) 的坐标为 \((r,\alpha)\)
这意味着 \(x=r \cos \alpha, y=r \sin \alpha\)
目标点 \(A'(x',y')\) 的极坐标即为 \((r,\alpha + \beta)\)
展开（其中 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的展开参考 here）：
\[
\begin{aligned}
x' & = r \cos (\alpha + \beta) \\
& = r(\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) \\
& = r\cos \alpha \cos \beta - r\sin \alpha \sin \beta \\
& = x \cos \beta - y \sin \beta \\
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
y' & = r \sin (\alpha + \beta) \\
& = r (\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta) \\
& = r \sin \alpha \cos \beta + r\cos \alpha \sin \beta \\
& = y \cos \beta + x \sin \beta\\
\end{aligned}
\]
结论：点 \((x,y)\) 绕原点逆时针旋转 \(\theta\) 后坐标为 \((x \cos \theta - y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)\)。