群论基础

定义

定义集合 \(G\) 与在 \(G\) 上的二元运算 \(\times\)，若其满足以下条件，则称 \((G,\times)\) 为一个群。

1. 封闭性。\(\forall a,b \in G,a \times b \in G\)
2. 结合性。\(\forall a,b,c \in G,(a \times b) \times c = a \times (b \times c)\)
3. 单位元存在性。\(\exists e \in G,\forall a \in G,e \times a = a \times e = a\)
4. 逆元存在性。\(\forall a \in G,\exists b \in G,a \times b = b \times a = e\)

性质

单位元唯一

\(e_1 \times e_2 = e_1 = e_2\)

逆元唯一

设 \(a\) 有逆元 \(b,c\)，\(c \times a \times b = e \times b = c \times e = b = c\)

关于子群 & 陪集

对于群 \((G,\times)\)，若 \(H \subseteq G\)，且 \((H,\times)\) 构成一个群，则称 \((H,\times)\) 为 \((G,\times)\) 的子群，简记为 \(H \le G\)。

对于 \(H \le G,g \in G\)，定义 \(gH=\{g \times h \mid h \in H\}\)，称为 \(H\) 关于 \(g\) 的左陪集。右陪集同理。

下面是陪集的若干性质。

1. \(\forall g \in G, |gH| = |H|\)
2. \(\forall g \in G, g \in gH\) （这是因为 \(e \in H\)）
3. \(gH = H \iff g \in H\)
4. \(aH = bH \iff b ^{-1} \times a \in H\)
5. \(aH \cap bH \not = \emptyset \Rightarrow aH = bH\)
6. \(H\) 所有的陪集并为 \(G\)。

Proof

(3) \(g \in H \Rightarrow gH = H\)，\(g \not \in H, g \in gH \Rightarrow gH \not = H\)

(4) \(aH = bH \Rightarrow b^{-1} \times a H = H \Rightarrow b^{-1} \times a \in H\)

(5) \(aH \cap bH \not = \emptyset \Rightarrow \exists x,y \in H, ax = by \Rightarrow x \times y^{-1} = b\times a^{-1} \in H \Rightarrow aH = bH\)

一些表述：

对于 \(H \le G\)，\(G / H\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 所有的左陪集 \(\{gH \mid g \in G\}\)。

对于 \(H \le G\)，\([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 不同陪集的数量。

关于记号

以下将群 \((G,\times)\) 简记为 \(G\)。

拉格朗日定理

对于有限群 \(G\) 及其子群 \(H\)，有

\[ |H| \times [G:H] = |G| \]

即 \(H\) 的阶乘 \(G\) 中 \(H\) 不同陪集的数量等于 \(G\) 的阶。

理解：因为 \(H\) 的所有陪集不交，大小都为 \(|H|\)，且并为 \(G\)，故不同的陪集有 \(\frac { |G| } { |H| }\) 个。

群作用

对于群 \(G\) 和集合 \(X\)，\(G\) 中每个元素都是 \(X\) 到自身的映射，记 \(g \in G\) 将 \(x \in X\) 映射为 \(g(x)\)，若所有映射满足以下条件，那么称群 \(G\) 作用 于集合 \(X\) 上。

1. 结合律。\(\forall g_1,g_2 \in G,x \in X,g_1(g_2(x)) = (g_1 \times g_2)(x)\)
2. 单位元是恒等变换。\(\forall x \in X,e(x) = x\)

轨道-稳定子定理

对于群 \(G\) 作用在集合 \(X\) 上，称 \(x \in X\) 的稳定子为 \(G^x = \{g \mid g \in G, g(x) = x\}\)，轨道为 \(G(x) = \{g(x) \mid g \in G\}\)。

定理内容：

\[ \forall x \in X, |G^x| \times |G(x)| = |G| \]

即任意 \(X\) 中的元素，其轨道和稳定子的大小之积为群 \(G\) 的阶。

考虑证明 \(G^x\) 为 \(G\) 的子群

首先有 \(e \in G^x\)

封闭性：对于 \(\forall a,b \in G^x\)，有 \(a(x) = b(x) = x\)，再根据 \(a(b(x)) = (a \times b) (x)\)，有 \(a \times b \in G^x\)。

结合性显然。

逆元：对于 \(g \in G^x\)，有 \(g^{-1}(g(x))=(g^{-1} \times g)(x) = e(x) = x\)，故 \(g^{-1} \in G^x\)。

故根据拉格朗日定理我们只需证明 \(|G(x)|=[G:G^x]\)。