计数 DP 技巧

Cat Jumps

sort: 组合意义

将形如 \(\prod _{i=1} ^{n} (x+i)\)，其中 \(x = \sum_i^n a_i\) 的式子转化为对每个点连一条出边 \(j\)，权值为 \(c_i = a_j + [j \le i]\)，所有方案中边权乘积之和。这是因为 \(\sum \prod_i^n c_i = \prod_i^n \sum c_i\)，而一个 \(i\) 的所有方案中边权和恰为 \(i+\sum a\)，故相等。

之后用各类容斥技巧，以及第一、二类斯特林数进行计数。